В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что углы АА1 В1 и АВВ₁ равны.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( AC_1BC_2 \), где \( C_1 \) — основание высоты, проведённой из \( C \) на \( AB \), а \( C_2 \) — основание высоты, проведённой из \( C \) на \( AB \).

В задаче даны высоты \( AA_1 \) и \( BB_1 \). Это означает, что \( AA_1 ⊥ BC \) и \( BB_1 ⊥ AC \).

Рассмотрим четырёхугольник \( A B B_1 A_1 \). В этом четырёхугольнике углы \( ∠ AA_1B \) и \( ∠ BB_1A \) равны 90° (по определению высоты).

Таким образом, точки \( A_1 \) и \( B_1 \) лежат на окружности с диаметром \( AB \). Это значит, что четырёхугольник \( A B B_1 A_1 \) является вписанным в окружность.

В четырёхугольнике \( A B B_1 A_1 \) углы \( ∠ A_1 B B_1 \) (или \( ∠ ABB_1 \)) и \( ∠ A_1 A B_1 \) (или \( ∠ AA_1B_1 \)) являются углами, опирающимися на одну хорду \( A_1B_1 \) в окружности, описанной около четырёхугольника \( A B B_1 A_1 \).

Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду в окружности, равны.

Следовательно, \( ∠ A_1 B B_1 = ∠ A_1 A B_1 \).

Или, что то же самое: \( ∠ ABB_1 = ∠ AA_1B_1 \).

Что и требовалось доказать.