18.8 В ломаной АBCD известны длины трёх её звеньев: АВ = 2, BC = 7, CD = 1. Длина звена AD равна целому числу (рис. 18.34). Какие значения она может принимать?

Логика такая:

Пусть длина звена AD равна x. Ломаная ABCD состоит из звеньев AB, BC и CD.

По неравенству для ломаной, длина AD должна быть меньше суммы длин остальных звеньев:

x < AB + BC + CD

x < 2 + 7 + 1

x < 10

Также, длина AD должна быть больше разности между суммой двух наибольших звеньев и наименьшего:

x > BC - (AB + CD)

x > 7 - (2 + 1)

x > 4

Так как AD - целое число, его возможные значения:

5, 6, 7, 8, 9

Однако, необходимо рассмотреть случай, когда ломаная вырождается в отрезок, т.е. все точки лежат на одной прямой.

В этом случае, AD может быть:

• AD = AB + BC + CD = 2 + 7 + 1 = 10
• AD = BC - AB - CD = 7 - 2 - 1 = 4

Так же необходимо рассмотреть варианты, когда одна из длин является суммой остальных:

• 7 = 2 + 1 + x, значит x = 4.
• 2 = 7 + 1 + x (невозможно, т.к. x был бы отрицательным).
• 1 = 7 + 2 + x (невозможно, т.к. x был бы отрицательным).

Таким образом, возможные целые значения для длины звена AD:

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10