18.5 ★☆☆ Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что АС + BD < AB + CD (рис. 18.31).

Рассмотрим треугольник AOC:

По неравенству треугольника, сумма двух сторон больше третьей стороны:

AC + AO > OC

AC + OC > AO

AO + OC > AC

Рассмотрим треугольник BOD:

По неравенству треугольника:

BD + BO > OD

BD + OD > BO

BO + OD > BD

Сложим неравенства AC + AO > OC и BD + BO > OD:

AC + BD + AO + BO > OC + OD

Заметим, что AO + BO = AB и OC + OD = CD:

AC + BD + AB > CD

Аналогично, сложим неравенства AC + OC > AO и BD + OD > BO:

AC + BD + OC + OD > AO + BO

AC + BD + CD > AB

Сложим два полученных неравенства:

AC + BD + AB > CD

AC + BD + CD > AB

2(AC + BD) + AB + CD > AB + CD

2(AC + BD) > 0

AC + BD > 0 (это очевидно, так как длины сторон положительны)

Теперь сложим неравенства AO + OC > AC и BO + OD > BD:

AO + OC + BO + OD > AC + BD

AB + CD > AC + BD

Таким образом, доказано, что AC + BD < AB + CD.