18.7 ☆☆ Длины трёх сторон четырёхугольника последовательно равны 1, 5 и 2 (рис. 18.33). Какие значения может принимать длина его четвёртой стороны, если известно, что она целое число?

Логика такая:

Пусть четвертая сторона равна x.

Сумма трех известных сторон: 1 + 5 + 2 = 8

Для любой стороны четырёхугольника должно выполняться неравенство:

x < 1 + 5 + 2

x < 8

Также, должно выполняться:

1 < 5 + 2 + x

5 < 1 + 2 + x

2 < 1 + 5 + x

Из этих неравенств:

x > -6 (всегда выполняется)

x > 2

x > -4 (всегда выполняется)

Четвертая сторона должна быть больше 2 и меньше 8.

Возможные значения для четвертой стороны:

3, 4, 5, 6, 7

Однако, нужно учесть возможность "вырожденного" четырёхугольника, когда точки лежат на одной прямой.

Рассмотрим случай, когда самая длинная сторона (5) является суммой остальных (1, 2 и x):

5 = 1 + 2 + x

x = 2

В этом случае четырёхугольник вырождается в прямую, но формально это допустимо.

Так же рассматриваем x = 8:

8 = 1 + 5 + 2

Таким образом, возможные целые значения для четвёртой стороны:

2, 3, 4, 5, 6, 7