18.6 ☆☆ Докажите, что сумма всех диагоналей выпуклого пятиугольника больше его периметра (рис. 18.32).

Обозначим вершины пятиугольника как A, B, C, D и E.

Сумма диагоналей пятиугольника:

AC + AD + BD + BE + CE

Рассмотрим каждый из треугольников, образованных сторонами и диагоналями:

• В треугольнике ABC: AC < AB + BC
• В треугольнике BCD: BD < BC + CD
• В треугольнике CDE: CE < CD + DE
• В треугольнике DEA: AD < DE + EA
• В треугольнике EAB: BE < EA + AB

Сложим эти неравенства:

AC + BD + CE + AD + BE < 2(AB + BC + CD + DE + EA)

Рассмотрим диагонали, выходящие из каждой вершины:

• Из вершины A: AC + AD > Периметр - AB - AE
• Из вершины B: BD + BE > Периметр - AB - BC
• Из вершины C: CE + CA > Периметр - BC - CD
• Из вершины D: DA + DB > Периметр - CD - DE
• Из вершины E: EB + EC > Периметр - DE - EA

Сложим все эти неравенства:

2(AC + AD + BD + BE + CE) > 5 * Периметр - 2 * Периметр

2(AC + AD + BD + BE + CE) > 3 * Периметр

Разделим обе части на 2:

(AC + AD + BD + BE + CE) > 1.5 * Периметр

Так как сумма диагоналей больше, чем 1.5 периметра, она больше периметра.