В3. Из вершины прямого угла С треугольника АВС вос- становлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треуголь- ника, если АВ = a, BC = b, CD = c. Ответ:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CD - перпендикуляр к плоскости треугольника, CD = c. Нужно найти расстояние от точки D до гипотенузы AB.

Проведем CE перпендикулярно AB (CE - высота треугольника ABC). Соединим точки D и E. Тогда DE - искомое расстояние.

Так как CD перпендикулярно плоскости ABC, то CD перпендикулярно AB. Также CE перпендикулярно AB. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости CDE, и DE перпендикулярна AB (по теореме о трех перпендикулярах).

Таким образом, DE - расстояние от точки D до гипотенузы AB.

В прямоугольном треугольнике ABC высота CE = (AC * BC) / AB = (AC * b) / a. По теореме Пифагора AC^2 + BC^2 = AB^2, AC = sqrt(a^2 - b^2).

Тогда CE = (sqrt(a^2 - b^2) * b) / a.

В прямоугольном треугольнике CDE DE^2 = CD^2 + CE^2 = c^2 + ((sqrt(a^2 - b^2) * b) / a)^2 = c^2 + (b^2 * (a^2 - b^2)) / a^2.

DE = sqrt(c^2 + (b^2 * (a^2 - b^2)) / a^2) = sqrt((a^2 * c^2 + a^2 * b^2 - b^4) / a^2) = (1/a) * sqrt(a^2 * c^2 + a^2 * b^2 - b^4).

Ответ: $$\frac{1}{a} \sqrt{a^2c^2 + a^2b^2 - b^4}$$