Упростить выражение и найти его значение: \(a^{-3} \cdot a^{-2} \cdot a^{-6}, \text{ при } a = \frac{2}{3}\)

Решение:

1. Сначала упростим выражение, используя свойство степеней \(x^m · x^n = x^{m+n}\). Сложим показатели степеней: \( a^{-3} · a^{-2} · a^{-6} = a^{(-3) + (-2) + (-6)} = a^{-11} \).
2. Теперь подставим значение \( a = \frac{2}{3} \) в упрощённое выражение: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-11} \).
3. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно дробь перевернуть и возвести в положительную степень: \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-11} = \left(\frac{3}{2}\right)^{11} \).
4. Вычислим \(\left(\frac{3}{2}\right)^{11}\): \( \frac{3^{11}}{2^{11}} \).

Ответ: \(\frac{3^{11}}{2^{11}}\).