Треугольник АВС вписан в окружность, причём сторона АС является её диаметром. Найдите высоту BD, если AC=25, BC = 15.

Решение:

1. Так как AC – диаметр, то угол ABC прямой (∠ABC = 90°). Следовательно, треугольник ABC – прямоугольный.
2. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\). Отсюда: \(AB^2 = AC^2 - BC^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400\). Значит, AB = \(\sqrt{400}\) = 20.
3. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   С одной стороны, \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150\).
   С другой стороны, \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD\). Отсюда: \(150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot BD\).
4. Выразим BD: \(BD = \frac{2 \cdot 150}{25} = \frac{300}{25} = 12\).

Ответ: BD = 12