5. Вершины А и С треугольника АВС лежат на окружности, которая пересекает сторону АВ в точке М и сторону ВС в точке К. Известно, что дуги МА, АС и СК соответственно равны 80°, 120° и 100°. Найдите: a) угол между хордами СМ и АК; б) угол АВС.

a) Для нахождения угла между хордами СМ и АК, воспользуемся теоремой об угле между пересекающимися хордами. Угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними.

Пусть ∠ между СМ и АК = x.

Дуга МА = 80°

Дуга СК = 100°

$$x = \frac{Дуга \, МА + Дуга \, СК}{2} = \frac{80° + 100°}{2} = \frac{180°}{2} = 90°$$

Ответ: угол между хордами СМ и АК равен 90°.

б) Для нахождения угла ABC, рассмотрим вписанный угол ∠АВС. Он опирается на дугу АС, которая равна 120 градусам, и на дугу СК, которая равна 100 градусам. Значит, дуга АК будет равна 360 - 120 -100 - 80 = 60 градусов.

Угол ∠АВС является вписанным и опирается на дугу ACK. Дуга AСK равна сумме дуг AC и CK: $$Дуга \, ACK = Дуга \, AC + Дуга \, CK = 120° + 100° = 220°$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

$$∠ABC = \frac{Дуга \, ACK}{2} = \frac{220°}{2} = 110°$$

Ответ: угол ABC равен 110°.