10. Тип 15 № 323344 Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 16

1. Пусть площадь треугольника S = 32√3, угол \(\alpha\) = 30°.
2. Обозначим катеты как a и b, где a лежит против угла 30°. Тогда:\(\sin(30^\circ) = \frac{a}{c}\), где c - гипотенуза. Значит, \(a = c \cdot \sin(30^\circ) = \frac{c}{2}\)
3. Также, \(\cos(30^\circ) = \frac{b}{c}\), откуда \(b = c \cdot \cos(30^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4. Площадь прямоугольного треугольника: \(S = \frac{1}{2}ab\)
5. Подставим выражения для a и b: \[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8}\]
6. Выразим c: \[c^2 = \frac{8S}{\sqrt{3}}\] \[c = \sqrt{\frac{8S}{\sqrt{3}}}\]
7. Подставим значение площади: \[c = \sqrt{\frac{8 \cdot 32\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = 16\]

Ответ: 16