21. Тип 21 № 338552 Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.

Обозначим скорость третьего велосипедиста за v (км/ч). Пусть t — время (в часах) от начала движения третьего велосипедиста до момента, когда он догнал второго велосипедиста.

К этому моменту:

• Первый велосипедист был в пути t + 2 часа.
• Второй велосипедист был в пути t + 1 час.
• Третий велосипедист был в пути t часов.

Когда третий велосипедист догнал второго, они проехали одинаковое расстояние. Следовательно:

\[v \cdot t = 16 \cdot (t + 1)\]

Через 4 часа после того, как третий велосипедист догнал второго, он догнал и первого. То есть, через t + 4 часа после начала движения третьего велосипедиста:

• Первый велосипедист был в пути t + 4 + 2 = t + 6 часов.
• Третий велосипедист был в пути t + 4 часа.

Соответственно:

\[v \cdot (t + 4) = 18 \cdot (t + 6)\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} v \cdot t = 16 \cdot (t + 1) \\ v \cdot (t + 4) = 18 \cdot (t + 6) \end{cases}\]

Выразим v из первого уравнения:

\[v = \frac{16(t + 1)}{t}\]

Подставим это во второе уравнение:

\[\frac{16(t + 1)}{t} \cdot (t + 4) = 18(t + 6)\]

Умножим обе части уравнения на t:

\[16(t + 1)(t + 4) = 18t(t + 6)\]

Раскрываем скобки:

\[16(t^2 + 5t + 4) = 18t^2 + 108t\] \[16t^2 + 80t + 64 = 18t^2 + 108t\]

Переносим все в правую часть:

\[2t^2 + 28t - 64 = 0\]

Делим на 2:

\[t^2 + 14t - 32 = 0\]

Находим корни:

\[D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324\] \[t_1 = \frac{-14 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 + 18}{2} = \frac{4}{2} = 2\] \[t_2 = \frac{-14 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-14 - 18}{2} = \frac{-32}{2} = -16\]

Время не может быть отрицательным, значит, t = 2 часа.

Теперь находим скорость v:

\[v = \frac{16(2 + 1)}{2} = \frac{16 \cdot 3}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Скорость третьего велосипедиста равна 24 км/ч.

Ответ: 24 км/ч

Проверка за 10 секунд: Перечитай условие и убедись, что найденная скорость соответствует описанному движению.

Читерский прием: Если сложно составить систему уравнений, попробуй решить задачу «с конца», подставляя возможные значения скорости.