176 Сколько существует последовательностей, в которых 4 буквы У, а остальные буквы Н, если всего в последовательностях: а) 11 букв; б) 12 букв; в) 15 букв; г) 20 букв?

Ответ: а) 330, б) 495, в) 1365, г) 4845

Разбираемся:

• В задачах такого типа используется формула сочетаний, так как порядок букв не важен.
• Формула сочетаний: \[C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\], где n - общее количество мест, k - количество мест для букв "У".

а) 11 букв:

• Нужно выбрать 4 места для буквы "У" из 11 мест.
• \(C(11, 4) = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11!}{4!7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330\)

б) 12 букв:

• Нужно выбрать 4 места для буквы "У" из 12 мест.
• \(C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\)

в) 15 букв:

• Нужно выбрать 4 места для буквы "У" из 15 мест.
• \(C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365\)

г) 20 букв:

• Нужно выбрать 4 места для буквы "У" из 20 мест.
• \(C(20, 4) = \frac{20!}{4!(20-4)!} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845\)

Ответ: а) 330, б) 495, в) 1365, г) 4845