Сколько решений имеет система уравнений. Решите графически. x² + y² = 64 xy = 6

Для решения системы уравнений графически нужно построить графики обоих уравнений в одной системе координат и определить точки пересечения. Окружность: $$x^2 + y^2 = 64$$ - это окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом r = 8. Гипербола: $$xy = 6$$ или $$y = \frac{6}{x}$$ Для нахождения точек пересечения нужно решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 64 \\ y = \frac{6}{x} \end{cases} $$ Подставим второе уравнение в первое: $$x^2 + (\frac{6}{x})^2 = 64$$ $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 64$$ $$x^4 + 36 = 64x^2$$ $$x^4 - 64x^2 + 36 = 0$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 64t + 36 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно t: $$D = b^2 - 4ac = (-64)^2 - 4 cdot 1 cdot 36 = 4096 - 144 = 3952$$ $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 + \sqrt{3952}}{2} = \frac{64 + \sqrt{16 \cdot 247}}{2} = \frac{64 + 4\sqrt{247}}{2} = 32 + 2\sqrt{247} \approx 32 + 2 \cdot 15.72 = 32 + 31.44 = 63.44$$ $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64 - \sqrt{3952}}{2} = \frac{64 - 4\sqrt{247}}{2} = 32 - 2\sqrt{247} \approx 32 - 2 \cdot 15.72 = 32 - 31.44 = 0.56$$ Найдем значения x: $$x^2 = t_1 = 63.44$$ $$x_1 = \sqrt{63.44} \approx 7.96$$ $$x_2 = -\sqrt{63.44} \approx -7.96$$ $$x^2 = t_2 = 0.56$$ $$x_3 = \sqrt{0.56} \approx 0.75$$ $$x_4 = -\sqrt{0.56} \approx -0.75$$ Найдем соответствующие значения y: $$y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{7.96} \approx 0.75$$ $$y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{-7.96} \approx -0.75$$ $$y_3 = \frac{6}{x_3} = \frac{6}{0.75} \approx 7.96$$ $$y_4 = \frac{6}{x_4} = \frac{6}{-0.75} \approx -7.96$$ Таким образом, графическое решение системы уравнений дает четыре точки пересечения: $$(7.96; 0.75), (-7.96; -0.75), (0.75; 7.96), (-0.75; -7.96)$$ <p><strong>Ответ:</strong> Система имеет четыре решения.</p> <div style="overflow-x:auto;-webkit-overflow-scrolling:touch;width:100%;"><table style="white-space:nowrap;width:max-content;"><thead><tr><th>Точка</th><th>x</th><th>y</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>7.96</td><td>0.75</td></tr><tr><td>2</td><td>-7.96</td><td>-0.75</td></tr><tr><td>3</td><td>0.75</td><td>7.96</td></tr><tr><td>4</td><td>-0.75</td><td>-7.96</td></tr></tbody></table></div>