4. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \frac{8}{17}. Диаметр описанной около него окружности равен 51. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ: 840

1. Пусть a и b - стороны прямоугольника, d - диагональ. Тогда площадь прямоугольника S = a \cdot b.
2. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника: d = 51.
3. Синус угла между стороной a и диагональю равен \frac{8}{17}: sin α = \frac{8}{17} = \frac{a}{d}. Отсюда, a = \frac{8}{17} \cdot d = \frac{8}{17} \cdot 51 = 24.
4. По теореме Пифагора, a^2 + b^2 = d^2, следовательно, b = \sqrt{d^2 - a^2} = \sqrt{51^2 - 24^2} = \sqrt{2601 - 576} = \sqrt{2025} = 45.
5. Площадь прямоугольника равна S = a \cdot b = 24 \cdot 35 = 840.

Ответ: 840