4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство: Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k. Тогда $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$$. Обозначим площади треугольников как S и S₁ соответственно. $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sinA$$ и $$S_1 = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot sinA_1$$. Так как углы A и A₁ равны, то $$\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} \cdot \frac{AC}{A_1C_1} = k \cdot k = k^2$$.

Ответ: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.