6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

6. Второй признак подобия треугольников гласит:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ и ∠A = ∠A₁.

Нужно доказать, что △ABC ~ △A₁B₁C₁.

Отложим на стороне AB отрезок AD, равный A₁B₁, и проведем отрезок DE параллельно BC.

Тогда △ADE ~ △ABC по первому признаку подобия треугольников (∠A - общий, ∠ADE = ∠ABC).

Из подобия следует AD/AB = AE/AC.

Так как AD = A₁B₁, то A₁B₁/AB = AE/AC.

По условию AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁, следовательно, A₁B₁/AB = A₁C₁/AC.

Таким образом, AE/AC = A₁C₁/AC, откуда AE = A₁C₁.

Тогда △ADE = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (AD = A₁B₁, AE = A₁C₁, ∠A = ∠A₁).

Так как △ADE ~ △ABC и △ADE = △A₁B₁C₁, то △ABC ~ △A₁B₁C₁.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема, выражающая второй признак подобия треугольников.