680 Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треуголь- ника АВС пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: а) точка D — середина стороны ВС; б) ∠A = ∠B + ∠C.

а) Если серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекаются в точке D стороны BC, то точка D является центром описанной окружности треугольника ABC. Если точка D лежит на стороне BC, то это означает, что BC — диаметр описанной окружности. Поскольку D является центром окружности, и D лежит на стороне BC, то D — середина BC.

б) ∠A = ∠B + ∠C. Если точка D - центр описанной окружности и лежит на стороне BC, то угол A опирается на диаметр BC, следовательно, ∠A = 90°. Так как ∠A = 90°, то ∠B + ∠C = 90°, следовательно, ∠A = ∠B + ∠C не всегда верно.

Ответ: а) Доказано, что точка D — середина стороны BC; б) ∠A = ∠B + ∠C не всегда верно.