С2. Тело в форме цилиндра плавает в воде в вертикальном положении, будучи погруженным в нее на 80% своего объема. Какая часть тела будет погружена в воду, если поверх нее налить слой бензина, полностью закрывающий тело? (Плотность воды 1000 кг/м³, бензина 700 кг/м³)

Решение:

Пусть \( V \) - полный объем цилиндра, \( V_{погр} \) - погруженный объем, \( \rho_т \) - плотность тела, \( \rho_в \) - плотность воды, \( \rho_б \) - плотность бензина.

Из условия плавания тела в воде следует, что сила Архимеда равна силе тяжести тела:

\( F_A = F_т \)

\( \rho_в g V_{погр} = \rho_т g V \)

По условию, тело погружено на 80% объема воды:

\( V_{погр} = 0.8 V \)

Подставим это в уравнение плавания:

\( \rho_в · g · (0.8 V) = \rho_т g V \)

Сократим \( g \) и \( V \):

\( \rho_в · 0.8 = \rho_т \)

\( \rho_т = 1000 \text{ кг/м}^3 · 0.8 = 800 \text{ кг/м}^3 \)

Теперь тело плавает в двух жидкостях: воде и бензине. Общая выталкивающая сила равна силе тяжести тела.

Пусть \( V_{погр.б} \) - объем тела, погруженный в бензин, а \( V_{погр.в} \) - объем тела, погруженный в воду.

Полный погруженный объем равен сумме объемов в каждой жидкости:

\( V_{погр} = V_{погр.б} + V_{погр.в} \)

Выталкивающая сила равна сумме выталкивающих сил от каждой жидкости:

\( F_{A.общ} = F_{A.б} + F_{A.в} \)

\( F_{A.общ} = \rho_б g V_{погр.б} + \rho_в g V_{погр.в} \)

Сила тяжести тела остается прежней:

\( F_т = \rho_т g V = 800 \text{ кг/м}^3 · g · V \)

Приравниваем выталкивающую силу и силу тяжести:

\( \rho_б g V_{погр.б} + \rho_в g V_{погр.в} = \rho_т g V \)

Разделим на \( g \):

\( \rho_б V_{погр.б} + \rho_в V_{погр.в} = \rho_т V \)

\( 700 \text{ кг/м}^3 · V_{погр.б} + 1000 \text{ кг/м}^3 · V_{погр.в} = 800 \text{ кг/м}^3 · V \)

Тело полностью погружено в бензин, который полностью покрывает его. Это значит, что вся высота цилиндра находится в бензине, если бы не было воды. Но так как тело плавает, часть его погружена в бензин, а часть - в воду. Бензин находится над водой, поэтому часть тела погружается в бензин, а оставшаяся часть (которая была над водой) теперь погружена в воду.

Пусть \( h \) - полная высота цилиндра. Объем \( V = Sh \), где \( S \) - площадь основания. \( V_{погр.б} = S h_{погр.б} \), \( V_{погр.в} = S h_{погр.в} \), \( V = S h \).

\( h_{погр.б} + h_{погр.в} = h \)

\( 700 \text{ кг/м}^3 · (S h_{погр.б}) + 1000 \text{ кг/м}^3 · (S h_{погр.в}) = 800 \text{ кг/м}^3 · (S h) \)

Разделим на \( S \):

\( 700 h_{погр.б} + 1000 h_{погр.в} = 800 h \)

Заменим \( h_{погр.в} = h - h_{погр.б} \):

\( 700 h_{погр.б} + 1000 (h - h_{погр.б}) = 800 h \)

\( 700 h_{погр.б} + 1000 h - 1000 h_{погр.б} = 800 h \)

\( -300 h_{погр.б} = 800 h - 1000 h \)

\( -300 h_{погр.б} = -200 h \)

\( h_{погр.б} = \frac{-200 h}{-300} = \frac{2}{3} h \)

Это значит, что 2/3 высоты цилиндра погружены в бензин. Следовательно, в воду погружена оставшаяся часть:

\( h_{погр.в} = h - h_{погр.б} = h - \frac{2}{3} h = \frac{1}{3} h \)

Объем, погруженный в воду, равен \( V_{погр.в} = S h_{погр.в} = S \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} V \).

Таким образом, в воду будет погружена 1/3 часть тела.

Ответ: 1/3 часть тела.