С1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов в пять раз меньше суммы двух других.

Решение:

Пусть углы равнобедренного треугольника равны \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \). Сумма углов равна 180°: \( \alpha + \beta + \gamma = 180° \).

В равнобедренном треугольнике два угла равны (боковые), а третий — основание.

Случай 1: Угол при основании в 5 раз меньше суммы двух других.

Пусть \( \alpha \) — угол при основании, \( \beta = \gamma \) — углы при боковых сторонах.

\( \alpha = \frac{1}{5} (\beta + \gamma) \) или \( \alpha = \frac{1}{5} (2\beta) \).

\( 5\alpha = 2\beta \).

Также \( \alpha + 2\beta = 180° \).

Из \( 5\alpha = 2\beta \) следует \( \beta = \frac{5}{2} \alpha \).

Подставим в уравнение суммы углов:

\( \alpha + 2 \cdot (\frac{5}{2} \alpha) = 180° \)

\( \alpha + 5\alpha = 180° \)

\( 6\alpha = 180° \)

\( \alpha = 30° \).

Тогда \( \beta = \frac{5}{2} \cdot 30° = 5 \cdot 15° = 75° \).

Углы: 30°, 75°, 75°.

Проверим условие: \( 30° = \frac{1}{5} (75° + 75°) \) => \( 30° = \frac{1}{5} (150°) \) => \( 30° = 30° \). Верно.

Случай 2: Угол при боковой стороне в 5 раз меньше суммы двух других.

Пусть \( \beta \) — один из углов при боковой стороне, \( \alpha \) — угол при основании, \( \gamma = \beta \).

\( \beta = \frac{1}{5} (\alpha + \gamma) = \frac{1}{5} (\alpha + \beta) \).

\( 5\beta = \alpha + \beta \)

\( 4\beta = \alpha \).

Сумма углов: \( \alpha + 2\beta = 180° \).

Подставим \( \alpha = 4\beta \):

\( 4\beta + 2\beta = 180° \)

\( 6\beta = 180° \)

\( \beta = 30° \).

Тогда \( \alpha = 4 \cdot 30° = 120° \).

Углы: 120°, 30°, 30°.

Проверим условие: \( 30° = \frac{1}{5} (120° + 30°) \) => \( 30° = \frac{1}{5} (150°) \) => \( 30° = 30° \). Верно.

Ответ: 30°, 75°, 75° или 120°, 30°, 30°.