С1. (проф) а) Решите уравнение 2 cos² x + 1 = 2√2 cos (3π/2 - x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [3π/2 ; 3π].

а) Решите уравнение 2cos²x + 1 = 2√2 cos (\(\frac{3\pi}{2}\) - x)

Пошаговое решение:

1. Применим формулу приведения: cos(\(\frac{3\pi}{2}\) - x) = -sin x.

\[2cos^2 x + 1 = -2\sqrt{2} sin x\]

2. Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x.

\[2(1 - sin^2 x) + 1 = -2\sqrt{2} sin x\]\[2 - 2sin^2 x + 1 = -2\sqrt{2} sin x\]\[-2sin^2 x + 2\sqrt{2} sin x + 3 = 0\]\[2sin^2 x - 2\sqrt{2} sin x - 3 = 0\]

3. Сделаем замену t = sin x:

\[2t^2 - 2\sqrt{2} t - 3 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение:

\[D = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 8 + 24 = 32\]\[t_{1,2} = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{32}}{4} = \frac{2\sqrt{2} \pm 4\sqrt{2}}{4}\]\[t_1 = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 1 \quad \text{(не подходит, т.к. |sin x| ≤ 1)}\]\[t_2 = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

5. Вернёмся к замене:

\[sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]\[x = (-1)^n arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]\[x = (-1)^n(-\frac{\pi}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = (-1)^n(-\(\frac{\pi}{4}\)) + πn, n ∈ ℤ

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку [\(\frac{3\pi}{2}\); 3π].

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим серию x = -\(\frac{\pi}{4}\) + 2πn:

• n = 1: x = -\(\frac{\pi}{4}\) + 2π = \(\frac{7\pi}{4}\) (\(\frac{3\pi}{2}\) ≤ \(\frac{7\pi}{4}\) ≤ 3π)
• n = 2: x = -\(\frac{\pi}{4}\) + 4π = \(\frac{15\pi}{4}\) (не входит в отрезок)

2. Рассмотрим серию x = \(\frac{5\pi}{4}\) + 2πn:

• n = 0: x = \(\frac{5\pi}{4}\) (не входит в отрезок)
• n = 1: x = \(\frac{5\pi}{4}\) + 2π = \(\frac{13\pi}{4}\) (\(\frac{3\pi}{2}\) ≤ \(\frac{13\pi}{4}\) ≤ 3π)

Ответ: \(\frac{7\pi}{4}\), \(\frac{13\pi}{4}\)