С1 (база) а) Решите уравнение: 2cos²x - cos x = 0 b) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π].

а) Решите уравнение: 2cos²x - cos x = 0

Пошаговое решение:

1. Вынесем cos x за скобки:

\[cos x (2cos x - 1) = 0\]

2. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

\[cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2cos x - 1 = 0\]

3. Решим каждое уравнение:

\[cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]\[2cos x - 1 = 0 \Rightarrow cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = \(\frac{\pi}{2}\) + πn, n ∈ ℤ; x = ±\(\frac{\pi}{3}\) + 2πk, k ∈ ℤ

b) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π].

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим серию x = \(\frac{\pi}{2}\) + πn:

• n = -1: x = \(\frac{\pi}{2}\) - π = -\(\frac{\pi}{2}\)
• n = 0: x = \(\frac{\pi}{2}\)
• n = 1: x = \(\frac{\pi}{2}\) + π = \(\frac{3\pi}{2}\) (не входит в отрезок)

2. Рассмотрим серию x = \(\frac{\pi}{3}\) + 2πk:

• k = -1: x = \(\frac{\pi}{3}\) - 2π = -\(\frac{5\pi}{3}\) (не входит в отрезок)
• k = 0: x = \(\frac{\pi}{3}\)
• k = 1: x = \(\frac{\pi}{3}\) + 2π = \(\frac{7\pi}{3}\) (не входит в отрезок)

3. Рассмотрим серию x = -\(\frac{\pi}{3}\) + 2πk:

• k = -1: x = -\(\frac{\pi}{3}\) - 2π = -\(\frac{7\pi}{3}\) (не входит в отрезок)
• k = 0: x = -\(\frac{\pi}{3}\)
• k = 1: x = -\(\frac{\pi}{3}\) + 2π = \(\frac{5\pi}{3}\) (не входит в отрезок)

Ответ: -\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), -\(\frac{\pi}{3}\)