5. Решите неравен- x3 +x2 -x -1 ≥ 0. ство 4x² - 8.2x² + 16

5. Решите неравенство:

$$\frac{x^3 +x^2 -x -1}{4^{x^2} - 8 \cdot 2^{x^2} + 16} \ge 0$$ $$\frac{x^3 +x^2 -x -1}{(2^{x^2})^2 - 8 \cdot 2^{x^2} + 16} \ge 0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^3 +x^2 -x -1 = x^2(x+1) - (x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$$

Знаменатель:

$$(2^{x^2})^2 - 8 \cdot 2^{x^2} + 16 = (2^{x^2} - 4)^2$$ $$\frac{(x-1)(x+1)^2}{(2^{x^2} - 4)^2} \ge 0$$

Т.к. $$(x+1)^2 \ge 0$$ и $$(2^{x^2} - 4)^2 > 0$$, то:

$$x-1 \ge 0$$ $$x \ge 1$$

Но нужно учесть, что знаменатель не должен равняться нулю, то есть:

$$2^{x^2} - 4
e 0$$ $$2^{x^2}
e 4$$ $$x^2
e 2$$ $$x
e \pm \sqrt{2}$$

Ответ: $$x \in [1;+\infty)$$, $$x
e \sqrt{2}$$