4. Решите неравенство 13 1 ≤ 3x-81 3x-9

4. Решите неравенство

$$\frac{13}{3^x-81} \le \frac{1}{3^x-9}$$ $$\frac{13}{3^x-81} - \frac{1}{3^x-9} \le 0$$ $$\frac{13(3^x-9)-(3^x-81)}{(3^x-81)(3^x-9)} \le 0$$ $$\frac{13 \cdot 3^x-117-3^x+81}{(3^x-81)(3^x-9)} \le 0$$ $$\frac{12 \cdot 3^x-36}{(3^x-81)(3^x-9)} \le 0$$ $$\frac{12 (3^x-3)}{(3^x-81)(3^x-9)} \le 0$$ $$\frac{(3^x-3)}{(3^x-81)(3^x-9)} \le 0$$

Обозначим $$t = 3^x$$, тогда получим:

$$\frac{t-3}{(t-81)(t-9)} \le 0$$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем:

$$t \in (-\infty; 3] \cup (9;81)$$

Возвращаясь к замене, получаем:

$$3^x \le 3$$ или $$9 < 3^x < 81$$ $$x \le 1$$ или $$2 < x < 4$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 1] \cup (2;4)$$