1. Решите неравенство 9x-3x+1-19 9x+1 -3x+4+2 + < 10.3*+3. 3x-6 3x-9 5x - 600 ≥ 0. 2. Решите неравенство: 5x-1

1. Решите неравенство

$$\frac{9^x-3^{x+1}-19}{3^x-6} + \frac{9^{x+1} -3^{x+4}+2}{3^x-9} \le 10 \cdot 3^x+3$$

Обозначим $$t = 3^x$$, тогда получим:

$$\frac{t^2-3t-19}{t-6} + \frac{9t^2 -81t+2}{t-9} \le 10t+3$$ $$\frac{(t^2-3t-19)(t-9) + (9t^2 -81t+2)(t-6)}{(t-6)(t-9)} \le 10t+3$$ $$\frac{t^3-9t^2-3t^2+27t-19t+171 + 9t^3 -54t^2 -81t^2 + 486t+2t-12}{(t-6)(t-9)} \le 10t+3$$ $$\frac{10t^3-147t^2+496t+159}{(t-6)(t-9)} \le 10t+3$$ $$\frac{10t^3-147t^2+496t+159}{(t-6)(t-9)} -10t-3 \le 0$$ $$\frac{10t^3-147t^2+496t+159-(10t+3)(t^2-15t+54)}{(t-6)(t-9)} \le 0$$ $$\frac{10t^3-147t^2+496t+159-(10t^3-150t^2+540t+3t^2-45t+162)}{(t-6)(t-9)} \le 0$$ $$\frac{10t^3-147t^2+496t+159-10t^3+150t^2-540t-3t^2+45t-162}{(t-6)(t-9)} \le 0$$ $$\frac{-4t^2+1t-3}{(t-6)(t-9)} \le 0$$ $$\frac{-4t^2+1t-3}{(t-6)(t-9)} \le 0$$ $$\frac{4t^2-t+3}{(t-6)(t-9)} \ge 0$$

Т.к. $$4t^2-t+3 > 0$$ при любых t, то:

$$(t-6)(t-9) \ge 0$$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем:

$$t \in (-\infty; 6) \cup (9;+\infty)$$

Возвращаясь к замене, получаем:

$$3^x < 6$$ или $$3^x > 9$$ $$x < log_3(6)$$ или $$x > 2$$

2. Решите неравенство:

$$ \frac{5^x - \frac{600}{5^x-1}}{} \ge 0$$ $$\frac{5^x(5^x-1) - 600}{5^x-1} \ge 0$$

Обозначим $$t = 5^x$$, тогда получим:

$$\frac{t(t-1) - 600}{t-1} \ge 0$$ $$\frac{t^2-t - 600}{t-1} \ge 0$$

Разложим числитель на множители:

$$t^2-t - 600 = 0$$ $$D = 1+4 \cdot 600 = 2401$$ $$t_1 = \frac{1+49}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{1-49}{2} = -24$$

Тогда:

$$\frac{(t-25)(t+24)}{t-1} \ge 0$$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем:

$$t \in [-24; 1) \cup [25;+\infty)$$

Возвращаясь к замене, получаем:

$$5^x \ge 25$$ или $$5^x < 1$$ $$x \ge 2$$ или $$x<0$$

Т.к. $$5^x \ge -24$$ всегда, то $$x \in (-\infty; 0) \cup [2;+\infty)$$.

Ответ: $$x < log_3(6)$$ или $$x > 2$$, $$x \in (-\infty; 0) \cup [2;+\infty)$$