3. Решите неравенство: 1 9x +3x+1 +31-x + ≤8. 9x

3. Решите неравенство:

$$9^x +3^{x+1} +3^{1-x} + \frac{1}{9^x} \le 8$$ $$9^x +3 \cdot 3^{x} +\frac{3}{3^{x}} + \frac{1}{9^x} \le 8$$

Обозначим $$t = 3^x + \frac{1}{3^x}$$, тогда $$t^2 = 9^x + 2 + \frac{1}{9^x}$$, $$9^x + \frac{1}{9^x} = t^2 - 2$$

Тогда получим:

$$t^2 - 2 + 3t \le 8$$ $$t^2 + 3t - 10 \le 0$$ $$(t+5)(t-2) \le 0$$ $$-5 \le t \le 2$$

Т.к. $$t = 3^x + \frac{1}{3^x}$$, а $$3^x > 0$$, то $$t > 0$$, значит:

$$0 < t \le 2$$ $$0 < 3^x + \frac{1}{3^x} \le 2$$ $$0 < 3^x + \frac{1}{3^x} $$

Домножим на $$3^x$$:

$$0 < (3^x)^2+1 $$

Это выполняется всегда.

$$3^x + \frac{1}{3^x} \le 2$$

Домножим на $$3^x$$:

$$(3^x)^2-2 \cdot 3^x +1 \le 0$$ $$(3^x-1)^2 \le 0$$

Это возможно, только если:

$$3^x-1 = 0$$ $$3^x = 1$$ $$x = 0$$

Ответ: $$x = 0$$