2 9. Решите уравнение (x² + 2x + 4)² - 14 (x²+2x+4)-15 = 0 ме- тодом замены переменной.

Решим уравнение $$(x^2 + 2x + 4)^2 - 14(x^2 + 2x + 4) - 15 = 0$$ методом замены переменной.

• Замена:

Пусть $$t = x^2 + 2x + 4$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 14t - 15 = 0$$

• Решим квадратное уравнение:

По теореме Виета:

$$t_1 + t_2 = 14$$

$$t_1 \cdot t_2 = -15$$

Корни уравнения: $$t_1 = 15$$, $$t_2 = -1$$.

• Вернемся к замене:

1) $$x^2 + 2x + 4 = 15$$

$$x^2 + 2x - 11 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 + 4\sqrt{3}}{2} = -1 + 2\sqrt{3}$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{48}}{2} = \frac{-2 - 4\sqrt{3}}{2} = -1 - 2\sqrt{3}$$

2) $$x^2 + 2x + 4 = -1$$

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корни уравнения: $$x_1 = -1 + 2\sqrt{3}$$, $$x_2 = -1 - 2\sqrt{3}$$.