20. Решите тригонометрическое уравнение cos2x + 9 sin x + 4 = 0.

Решим тригонометрическое уравнение $$\cos 2x + 9 \sin x + 4 = 0$$.

1. Используем формулу $$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$$: $$1 - 2\sin^2 x + 9 \sin x + 4 = 0$$ $$-2\sin^2 x + 9 \sin x + 5 = 0$$ $$2\sin^2 x - 9 \sin x - 5 = 0$$
2. Пусть $$\sin x = t$$, тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 9t - 5 = 0$$ $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$$ $$t_1 = \frac{9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ $$t_2 = \frac{9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
3. Вернемся к переменной x: $$\sin x = 5$$ (нет решений, так как $$|\sin x| \le 1$$) $$\sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$