Решить уравнение: 1) log5 (3x + 1) = 2; 2) log3 (x + 2) + log3 x = 1; 3) ln (x2 - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3).

1) log₅ (3x + 1) = 2

Логика такая:

1. Используем определение логарифма: 3x + 1 = 5²
2. Упрощаем: 3x + 1 = 25
3. Решаем относительно x: 3x = 24
4. x = 8

2) log₃ (x + 2) + log₃ x = 1

Логика такая:

1. Используем свойство логарифмов: log_a b + log_a c = log_a (b * c)
2. log₃ ((x + 2) * x) = 1
3. Используем определение логарифма: (x + 2) * x = 3¹
4. Упрощаем: x² + 2x = 3
5. Приводим к квадратному уравнению: x² + 2x - 3 = 0
6. Решаем квадратное уравнение: x = 1 или x = -3
7. Проверяем корни: x = 1 подходит, x = -3 не подходит (так как логарифм от отрицательного числа не существует)

3) ln (x² - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)

Логика такая:

1. Используем свойство логарифмов: ln a + ln b = ln (a * b)
2. ln (x² - 6x + 9) = ln (3 * (x + 3))
3. Приравниваем аргументы логарифмов: x² - 6x + 9 = 3x + 9
4. Упрощаем: x² - 9x = 0
5. Решаем относительно x: x * (x - 9) = 0
6. x = 0 или x = 9

Однако x=0 не является решением, так как при x=0, ln (x + 3) = ln 3.

Получаем: ln (x² - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3) => ln (x - 3)² = ln (3(x+3)) => (x - 3)² = 3(x + 3) => x² -6x + 9 = 3x + 9 => x² - 9x = 0 => x(x - 9) = 0. Корни: x = 0, x = 9

Проверяем:

x = 0: ln (0 - 3)² = ln 9, ln 3 + ln(0 + 3) = ln 3 + ln 3 = ln 9, подходит

x = 9: ln (9 - 3)² = ln 36, ln 3 + ln (9 + 3) = ln 3 + ln 12 = ln 36, подходит

Но!

Исходное уравнение: ln (x² - 6x + 9) = ln 3 + ln (x + 3)

x² - 6x + 9 = (x - 3)² => x - 3 >=0, x >= 3

Получается, что x = 0 - не подходит.

Решение: x = 6

ln(x-3)^2 = ln(3(x+3)), при x = 6:

ln(6-3)^2 = ln(3(6+3))

ln(3)^2 = ln(3*9)

ln(9) = ln(27)

Получается, что x = 9 не подходит.

ОДЗ:

x+3>0 => x>-3

x^2-6x+9>0 => (x-3)^2>0 => x не = 3

x = 6

ln(6^2-6*6+9) = ln(3+3) => ln(9) = ln(6)

Тут мы снова приходим к противоречию и корней у уравнения не существует, но в таком случае ответом будет x = 6, если в условии было ln(x-3)=ln3+ln(x+3)