8. Решить однородное уравнение второй степени: −3sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 0.

Ответ:

• Разделим обе части уравнения на cos²x (cos x ≠ 0):
• -3tg²x + 1 + 2tgx = 0
• 3tg²x - 2tgx - 1 = 0
• Замена: y = tgx
• 3y² - 2y - 1 = 0
• D = (-2)² - 4 ⋅ 3 ⋅ (-1) = 4 + 12 = 16
• y₁ = \(\frac{2 + 4}{6}\) = 1
• y₂ = \(\frac{2 - 4}{6}\) = -\(\frac{1}{3}\)
• tgx = 1 => x = \(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi k\), k ∈ Z
• tgx = -\(\frac{1}{3}\) => x = arctg(-\(\frac{1}{3}\)) + \(\pi k\), k ∈ Z

Ответ: x = \(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi k\), k ∈ Z; x = arctg(-\(\frac{1}{3}\)) + \(\pi k\), k ∈ Z