5. Найдите значение выражения $$\sqrt{8cos^2\frac{3\pi}{8}} - \sqrt{8sin^2\frac{3\pi}{8}}$$.

Ответ: -2

Разбираемся:

1. Шаг 1: Упрощение выражения

   Исходное выражение: \[\sqrt{8\cos^2{\frac{3\pi}{8}}} - \sqrt{8\sin^2{\frac{3\pi}{8}}}\]

   Извлекаем квадратный корень:\[\sqrt{8} \cdot |\cos{\frac{3\pi}{8}}| - \sqrt{8} \cdot |\sin{\frac{3\pi}{8}}|\]

2. Шаг 2: Определение знаков косинуса и синуса

   Угол \(\frac{3\pi}{8}\) находится во второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен. Учитываем это при раскрытии модулей.

3. Шаг 3: Раскрытие модулей

   Так как \(\cos{\frac{3\pi}{8}} < 0\) и \(\sin{\frac{3\pi}{8}} > 0\), получаем:\[\sqrt{8} \cdot (-\cos{\frac{3\pi}{8}}) - \sqrt{8} \cdot \sin{\frac{3\pi}{8}}\]

4. Шаг 4: Дальнейшее упрощение

   Выносим \(\sqrt{8}\) за скобки:\[\sqrt{8} \cdot (-\cos{\frac{3\pi}{8}} - \sin{\frac{3\pi}{8}})\]

5. Шаг 5: Использование тригонометрических тождеств

   Преобразуем выражение в скобках. Заметим, что \(\cos{\frac{3\pi}{8}} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8})} = \sin{\frac{\pi}{8}}\) и \(\sin{\frac{3\pi}{8}} = \cos{\frac{\pi}{8}}\. Тогда выражение принимает вид:\[-\sqrt{8}(\sin{\frac{\pi}{8}} + \cos{\frac{\pi}{8}})\]

6. Шаг 6: Упрощение корня

   \[\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

   Подставляем это значение в выражение:\[-2\sqrt{2}(\sin{\frac{\pi}{8}} + \cos{\frac{\pi}{8}})\]

7. Шаг 7: Вычисление значений синуса и косинуса

   Используем формулы половинного угла:\[\cos{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\frac{\pi}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\]\[\sin{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1 - \cos{\frac{\pi}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\]

8. Шаг 8: Подстановка значений в выражение

   \[-2\sqrt{2} \cdot (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})\]

   Упрощаем выражение:\[-\sqrt{2} \cdot (\sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2}})\]

9. Шаг 9: Возведение в квадрат

   Выражение в скобках возведем в квадрат:\[(\sqrt{2 - \sqrt{2}} + \sqrt{2 + \sqrt{2}})^2 = (2 - \sqrt{2}) + 2\sqrt{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} + (2 + \sqrt{2}) = 4 + 2\sqrt{4 - 2} = 4 + 2\sqrt{2}\]

   Извлекаем корень квадратный:\[\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2}}\]

10. Шаг 10: Подстановка значения

    \[-\sqrt{2} \cdot 2 = -2\]

Ответ: -2