13. Разбейте число 186 на три попарно различных натуральных слагаемых, сумма любых двух из которых делится на третье.

Пусть три числа, которые мы ищем, a, b и c. Тогда у нас есть следующие условия:

1. a + b + c = 186
2. (a + b) делится на 3
3. (a + c) делится на 3
4. (b + c) делится на 3

Если (a + b) делится на 3, то a + b = 3k для некоторого целого k.

Тогда c = 186 - (a + b) = 186 - 3k = 3(62 - k). Отсюда следует, что c делится на 3.

Аналогично можно показать, что a и b тоже делятся на 3.

Таким образом, a = 3x, b = 3y и c = 3z для некоторых целых чисел x, y и z. Тогда:

$$ 3x + 3y + 3z = 186 $$ $$ x + y + z = 62 $$

И также:

• x + y делится на 3
• x + z делится на 3
• y + z делится на 3

Это означает, что x, y и z должны давать одинаковые остатки при делении на 3.

Например, если x = 2, y = 5 и z = 55, то x + y + z = 62 и все условия выполняются.

Тогда a = 6, b = 15, c = 165.

Проверка:

• 6 + 15 + 165 = 186
• 6 + 15 = 21 делится на 3
• 6 + 165 = 171 делится на 3
• 15 + 165 = 180 делится на 3

Ответ: 6, 15, 165