3. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.

Пусть $$x$$ км/ч - скорость автомобиля, $$t$$ ч - время от начала движения автомобиля до момента встречи с мотоциклистом в городе С.

Мотоциклист выехал через 1,5 часа и догнал автомобиль в городе С. Значит, время мотоциклиста в пути до города С составило $$(t-1,5)$$ ч. Тогда:

$$x \cdot t = 75 \cdot (t - 1,5)$$

Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно в город А, а автомобиль продолжил движение до города В. По условию, они прибыли одновременно. Время от города С до города А равно времени от города С до города В.

Тогда $$t - (t - 1,5) \cdot 2 = \frac{375 - xt}{x}$$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x \cdot t = 75 \cdot (t - 1,5) \\ t - (t - 1,5) \cdot 2 = \frac{375 - xt}{x} \end{cases}$$

Выразим $$t$$ из первого уравнения:

$$xt = 75t - 112,5$$ $$75t - xt = 112,5$$ $$t(75 - x) = 112,5$$ $$t = \frac{112,5}{75-x}$$

Подставим $$t$$ во второе уравнение:

$$\frac{112,5}{75-x} - (\frac{112,5}{75-x} - 1,5) \cdot 2 = \frac{375 - x \cdot \frac{112,5}{75-x}}{x}$$

Упростим:

$$\frac{112,5}{75-x} - \frac{225}{75-x} + 3 = \frac{375}{x} - \frac{112,5}{75-x}$$ $$3 = \frac{375}{x}$$ $$x = \frac{375}{3} = 125$$

Тогда $$t = \frac{112,5}{75-125} = \frac{112,5}{-50} = -2,25$$

Получили отрицательное значение времени, значит, в условии задачи есть ошибка. Скорее всего, мотоциклист выехал из города B, а не из города A.

Пусть $$x$$ км/ч - скорость автомобиля, $$t$$ ч - время от начала движения автомобиля до момента встречи с мотоциклистом в городе С.

Мотоциклист выехал через 1,5 часа и догнал автомобиль в городе С. Значит, время мотоциклиста в пути до города С составило $$(t-1,5)$$ ч. Тогда:

$$x \cdot t = 75 \cdot (t - 1,5)$$

Мотоциклист догнал автомобиль в городе С и повернул обратно в город B, а автомобиль продолжил движение до города A. По условию, они прибыли одновременно. Время от города С до города B равно времени от города С до города A.

Тогда $$t - (t - 1,5) \cdot 2 = \frac{375 - xt}{x}$$.

Составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x \cdot t = 75 \cdot (t - 1,5) \\ t - (t - 1,5) \cdot 2 = \frac{375 - xt}{x} \end{cases}$$

Выразим $$t$$ из первого уравнения:

$$xt = 75t - 112,5$$ $$75t - xt = 112,5$$ $$t(75 - x) = 112,5$$ $$t = \frac{112,5}{75-x}$$

Подставим $$t$$ во второе уравнение:

$$x \cdot t = 375 - 75 \cdot (t - 1,5)$$ $$x \cdot t = 375 - 75t + 112,5$$ $$x \cdot t + 75t = 487,5$$ $$t(x+75) = 487,5$$ $$t = \frac{487,5}{x+75}$$

Приравняем выражения для $$t$$:

$$\frac{112,5}{75-x} = \frac{487,5}{x+75}$$ $$112,5(x+75) = 487,5(75-x)$$ $$112,5x + 8437,5 = 36562,5 - 487,5x$$ $$600x = 28125$$ $$x = 46,875$$

Тогда $$t = \frac{112,5}{75-46,875} = \frac{112,5}{28,125} = 4$$

Расстояние от А до С равно $$x \cdot t = 46,875 \cdot 4 = 187,5$$ км.

Ответ: 187,5