Прямая y = -6x + 1 является касательной к графику функции y = 4x^2 + bx + 2. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Решение:

Условие касания означает, что в точке касания графики функций имеют одинаковые значения y и одинаковые значения производной (угловой коэффициент касательной равен значению производной).

1. Приравниваем значения y:

\[ 4x^2 + bx + 2 = -6x + 1 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 4x^2 + bx + 6x + 2 - 1 = 0 \]

4x^2 + (b+6)x + 1 = 0

Это квадратное уравнение, и оно должно иметь ровно один корень (точку касания). Следовательно, дискриминант равен нулю.

\( D = (b+6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0 \)

\[ (b+6)^2 - 16 = 0 \]

\( (b+6)^2 = 16 \)

\( b+6 = \pm 4 \)

Два возможных значения для b:

• \( b+6 = 4 → b = -2 \)
• \( b+6 = -4 → b = -10 \)

2. Приравниваем производные:

Производная функции \( y = 4x^2 + bx + 2 \) равна \( y' = 8x + b \).

Производная касательной \( y = -6x + 1 \) равна \( y' = -6 \).

Приравниваем производные:

\[ 8x + b = -6 \]

3. Используем условие абсциссы точки касания меньше 0:

Из уравнения \( 4x^2 + (b+6)x + 1 = 0 \) с \( D=0 \) следует, что корень \( x = -\frac{b+6}{2 \cdot 4} = -\frac{b+6}{8} \).

Подставим \( b = -2 \):

\[ x = -\frac{-2+6}{8} = -\frac{4}{8} = -0.5 \]

Этот корень \( x = -0.5 \) меньше 0.

Подставим \( b = -10 \):

\[ x = -\frac{-10+6}{8} = -\frac{-4}{8} = 0.5 \]

Этот корень \( x = 0.5 \) больше 0, что не удовлетворяет условию.

Следовательно, \( b = -2 \).

Ответ: -2