От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого теплохода (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго теплохода (км/ч).

По условию:

• Расстояние \( S = 110 \) км.
• \( v_2 = v_1 + 1 \) км/ч.
• Второй теплоход отправился на 1 час позже.
• Теплоходы прибыли одновременно.

Время в пути первого теплохода \( t_1 = \frac{S}{v_1} \).

Время в пути второго теплохода \( t_2 = \frac{S}{v_2} \).

Так как второй теплоход отправился на 1 час позже и прибыл одновременно, то время его движения на 1 час меньше:

\[ t_2 = t_1 - 1 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{110}{v_2} = \frac{110}{v_1} - 1 \]

Заменим \( v_1 \) на \( v_2 - 1 \) (так как \( v_1 = v_2 - 1 \)):

\[ \frac{110}{v_2} = \frac{110}{v_2 - 1} - 1 \]

Приведём к общему знаменателю, умножив все члены на \( v_2(v_2 - 1) \):

\[ 110(v_2 - 1) = 110v_2 - v_2(v_2 - 1) \]

Раскроем скобки:

\[ 110v_2 - 110 = 110v_2 - v_2^2 + v_2 \]

Сократим \( 110v_2 \) с обеих сторон:

\[ -110 = -v_2^2 + v_2 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_2^2 - v_2 - 110 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \)

Найдём \( v_2 \):

\[ v_2 = \frac{-(-1) \pm 21}{2 \cdot 1} \]

\( v_2 = \frac{1 \pm 21}{2} \)

Получаем два возможных значения:

• \( v_2 = \frac{1 + 21}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
• \( v_2 = \frac{1 - 21}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Скорость второго теплохода \( v_2 = 11 \) км/ч.

Ответ: 11