25. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=45, ВС=20, CF:DF=4:1.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, EF || AD || BC, E ∈ AB, F ∈ CD, AD = 45, BC = 20, CF:DF = 4:1.

Найти EF.

Решение:

Проведем через точку B прямую, параллельную CD, до пересечения с AD в точке K и с EF в точке L.

Тогда AK = BC = 20, KD = AD - AK = 45 - 20 = 25.

Так как CF:DF = 4:1, то CF = 4x, DF = x. CF + DF = CD.

$$ \frac{CF}{DF} = \frac{4}{1} $$

Рассмотрим треугольник BKD. LF || KD, следовательно, треугольники BLF и BKD подобны.

Тогда $$ \frac{BL}{BK} = \frac{DF}{CD} = \frac{DF}{CF+DF} $$

$$ \frac{BL}{BK} = \frac{x}{4x+x} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} $$

$$ LF = \frac{1}{5} KD = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5 $$

EF = EL + LF = BC + LF = 20 + 5 = 25.

Ответ: 25