24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и ВС выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников ВЕС и AED равна половине площади трапеции.

Пусть трапеция ABCD, BC и AD - основания, MN - средняя линия, E - произвольная точка на MN.

Доказать: $$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Доказательство:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$MN = \frac{BC+AD}{2}$$

Площадь трапеции: $$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Высота треугольника BEC равна половине высоты трапеции: $$h_{BEC} = \frac{h}{2}$$

Высота треугольника AED равна половине высоты трапеции: $$h_{AED} = \frac{h}{2}$$

Площадь треугольника BEC: $$S_{BEC} = \frac{1}{2} BC \cdot h_{BEC} = \frac{1}{2} BC \cdot \frac{h}{2} = \frac{BC \cdot h}{4}$$

Площадь треугольника AED: $$S_{AED} = \frac{1}{2} AD \cdot h_{AED} = \frac{1}{2} AD \cdot \frac{h}{2} = \frac{AD \cdot h}{4}$$

Сумма площадей треугольников BEC и AED:

$$S_{BEC} + S_{AED} = \frac{BC \cdot h}{4} + \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{(BC+AD) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(BC+AD) \cdot h}{2} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Следовательно, сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции ABCD.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано