23. Прямая, параллельная основаниям МР и NК трапеции МNКР, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает ее боковые стороны МN и КР в точках Аи В соответственно. Найдите длину отрезка АВ, если МР = 40см, NК = 24см.

Ответ: 30 см.

Решение:

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции MNKP. Прямая AB параллельна основаниям MP и NK и проходит через точку O.

Рассмотрим треугольники MOP и NOK. Они подобны по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие углы при параллельных прямых).

Коэффициент подобия k = MP / NK = 40 / 24 = 5 / 3.

Значит, MO / ON = 5 / 3. Тогда MO = (5 / 8) * MN и ON = (3 / 8) * MN.

Рассмотрим треугольник MNK. В нем AO - средняя линия (так как AO || NK и MO / ON = 5 / 3). Тогда AO = (1 / 2) * NK = (1 / 2) * 24 = 12 см.

Рассмотрим треугольник PMN. В нем BO - средняя линия (так как BO || MP и NO / OP = 3 / 5). Тогда BO = (1 / 2) * MP = (1 / 2) * 40 = 20 см.

AB = AO + BO = 12 + 18 = 30 см.

Ответ: 30 см.