6*. При каком значении х значения выражений х + 1, х + 5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Для того, чтобы выражения $$x+1, x+5, 2x+4$$ были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться условие: $$\frac{x+5}{x+1} = \frac{2x+4}{x+5}$$. Решим уравнение: $$(x+5)^2 = (x+1)(2x+4) \Rightarrow x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4 \Rightarrow x^2 - 4x - 21 = 0$$. Найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$$, $$x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7$$, $$x_2 = \frac{4 - 10}{2} = -3$$. Если $$x = 7$$, то члены прогрессии: $$7+1 = 8$$, $$7+5 = 12$$, $$2(7)+4 = 18$$. Проверим, что $$\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$ и $$\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$. Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем $$\frac{3}{2}$$. Если $$x = -3$$, то члены прогрессии: $$-3+1 = -2$$, $$-3+5 = 2$$, $$2(-3)+4 = -2$$. Проверим, что $$\frac{2}{-2} = -1$$ и $$\frac{-2}{2} = -1$$. Значит, это геометрическая прогрессия со знаменателем -1. Ответ: При $$x = 7$$ члены прогрессии 8, 12, 18. При $$x = -3$$ члены прогрессии -2, 2, -2.