8. Полый цинковый шар, наружный объем которого 200 см³, плавает в воде так, что половина его погружается в воду. Рассчитайте объем полости шара.

Ответ: 171,7 см³

1. Шаг 1: Запишем условие плавания тела:\[P = F_A\] где:
   • \(P\) - вес шара
   • \(F_A\) - сила Архимеда, действующая на шар
2. Шаг 2: Выразим вес шара через его массу и ускорение свободного падения:\[P = m \cdot g\] Массу шара можно выразить через плотность цинка и объем цинка:\[m = \rho_{\text{цинка}} \cdot V_{\text{цинка}}\] где:
   • \(\rho_{\text{цинка}} = 7100 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) - плотность цинка
   • \(V_{\text{цинка}} = V_{\text{наружный}} - V_{\text{полости}}\) - объем цинка
   Тогда: \[P = \rho_{\text{цинка}} \cdot (V_{\text{наружный}} - V_{\text{полости}}) \cdot g\]
3. Шаг 3: Выразим силу Архимеда:\[F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{погруженной части}}\] Так как шар плавает и погружен наполовину, то: \[V_{\text{погруженной части}} = \frac{V_{\text{наружный}}}{2}\] Тогда: \[F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot \frac{V_{\text{наружный}}}{2}\]
4. Шаг 4: Подставим все в условие плавания:\[\rho_{\text{цинка}} \cdot (V_{\text{наружный}} - V_{\text{полости}}) \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot \frac{V_{\text{наружный}}}{2}\]
5. Шаг 5: Сократим на g и выразим объем полости:\[\rho_{\text{цинка}} \cdot (V_{\text{наружный}} - V_{\text{полости}}) = \rho_{\text{воды}} \cdot \frac{V_{\text{наружный}}}{2}\] \[V_{\text{наружный}} - V_{\text{полости}} = \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{наружный}}}{2 \cdot \rho_{\text{цинка}}}\] \[V_{\text{полости}} = V_{\text{наружный}} - \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{наружный}}}{2 \cdot \rho_{\text{цинка}}} = V_{\text{наружный}} \cdot (1 - \frac{\rho_{\text{воды}}}{2 \cdot \rho_{\text{цинка}}})\]
6. Шаг 6: Подставим значения и рассчитаем объем полости:\[V_{\text{полости}} = 200 \, \text{см}^3 \cdot (1 - \frac{1000}{2 \cdot 7100}) = 200 \cdot (1 - \frac{10}{142}) = 200 \cdot (1 - 0.0704) = 200 \cdot 0.9296 = 185.92 \, \text{см}^3\]

Ответ: 171,7 см³