Отрезки АВ и CD- диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; B) ∠BAD = ∠BCD.

Рассмотрим окружность с диаметрами AB и CD.

а) Докажем, что хорды BD и AC равны.

Так как AB и CD - диаметры, то углы ∠ADB и ∠ACB - прямые (опираются на диаметр).

Рассмотрим треугольники ΔADB и ΔACB.

В них:

AB - общая сторона,

∠ADB = ∠ACB = 90°.

Так как AB и CD - диаметры, они равны и делятся пополам в центре окружности O.

Тогда AO = OB = CO = OD.

Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC.

В них:

AO = OB,

CO = OD,

∠AOD = ∠BOC (вертикальные углы).

Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: AD = BC.

Возвращаясь к треугольникам ΔADB и ΔACB, имеем:

AB - общая сторона,

∠ADB = ∠ACB = 90°,

AD = BC.

Тогда ΔADB = ΔACB по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: BD = AC.

б) Докажем, что хорды AD и BC равны.

Это было доказано в пункте а) при рассмотрении треугольников ΔAOD и ΔBOC.

в) Докажем, что ∠BAD = ∠BCD.

Так как ΔADB = ΔACB, то ∠BAD = ∠ABC.

Аналогично, так как ΔAOD = ΔBOC, то ∠ODA = ∠OCB.

Следовательно, ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: Доказано.