Найти значения х, при которых значение производной функции f(x) равно нулю; положительно; отрицательно.

Анализ знака производной функции:

Для каждого случая нужно найти производную функции \( f(x) \) и проанализировать её знак.

1. \( f(x) = 2x^3 - x^2 \)

   \( f'(x) = 6x^2 - 2x \)

   Приравняем производную к нулю: \( 6x^2 - 2x = 0 \implies 2x(3x - 1) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{3} \).

   Знаки производной:

   • \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{3}, \infty) \) (положительно).
   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (0, \frac{1}{3}) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{3} \) (равно нулю).

2. \( f(x) = -3x^3 + 2x^2 + 4 \)

   \( f'(x) = -9x^2 + 4x \)

   Приравняем производную к нулю: \( -9x^2 + 4x = 0 \implies x(-9x + 4) = 0 \). Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{9} \).

   Знаки производной:

   • \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (0, \frac{4}{9}) \) (положительно).
   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{4}{9}, \infty) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) = 0 \) при \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{9} \) (равно нулю).

3. \( f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x \)

   \( f'(x) = 5x^4 - 15x^2 - 20 \)

   Приравняем производную к нулю: \( 5x^4 - 15x^2 - 20 = 0 \implies x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда \( y^2 - 3y - 4 = 0 \). Корни: \( y = 4 \) и \( y = -1 \).

   \( x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \). \( x^2 = -1 \) действительных корней не имеет.

   Корни производной: \( x = -2 \) и \( x = 2 \). (Вторая производная \( 5x^4 - 15x^2 - 20 \) имеет ещё два комплексных корня, но нас интересуют действительные значения x).

   Знаки производной:

   • \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \) (положительно).
   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (-2, 2) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) = 0 \) при \( x = -2 \) и \( x = 2 \) (равно нулю).

4. \( f(x) = (x + 3)^3 (x - 4)^2 \)

   \( f'(x) = 3(x+3)^2 (x-4)^2 + (x+3)^3 2(x-4) \)

   \( f'(x) = (x+3)^2 (x-4) [3(x-4) + 2(x+3)] \)

   \( f'(x) = (x+3)^2 (x-4) [3x - 12 + 2x + 6] \)

   \( f'(x) = (x+3)^2 (x-4) (5x - 6) \)

   Приравняем производную к нулю: \( (x+3)^2 (x-4) (5x - 6) = 0 \). Корни: \( x = -3 \) (кратности 2), \( x = 4 \), \( x = \frac{6}{5} = 1.2 \).

   Знаки производной:

   • \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (1.2, 4) \cup (4, \infty) \) (положительно).
   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1.2) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) = 0 \) при \( x = -3, x = 1.2, x = 4 \) (равно нулю).

5. \( f(x) = \frac{3x+1}{x-2} \)

   \( f'(x) = \frac{3(x-2) - (3x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{3x-6 - 3x-1}{(x-2)^2} = \frac{-7}{(x-2)^2} \)

   Производная \( f'(x) = \frac{-7}{(x-2)^2} \) всегда отрицательна, так как числитель отрицательный, а знаменатель — квадрат (всегда положителен). Знаменатель обращается в ноль при \( x=2 \), но эта точка не входит в область определения функции.

   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) \) никогда не равно нулю.
   • \( f'(x) \) никогда не положительно.

6. \( f(x) = x^2 + \frac{2}{x} \)

   \( f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} \)

   Приравняем производную к нулю: \( 2x - \frac{2}{x^2} = 0 \implies 2x = \frac{2}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1 \).

   Знаки производной:

   • \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (1, \infty) \) (положительно).
   • \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \) (отрицательно).
   • \( f'(x) = 0 \) при \( x = 1 \) (равно нулю).

Ответ: Значения x, при которых производная равна нулю, положительна или отрицательна, определены для каждой функции.