Найти значение производной функции f(x) в точке x₀, если:

Нахождение значения производной функции в точке:

1. \( f(x) = \cos x \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6} \)

   Сначала найдем производную: \( f'(x) = (\cos x \sin x)' = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \).

   Теперь найдем значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{6} \):

   \( f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \).

2. \( f(x) = e^x \ln x, x_0 = 1 \)

   Найдем производную: \( f'(x) = (e^x \ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x(\ln x + \frac{1}{x}) \).

   Найдем значение производной в точке \( x_0 = 1 \):

   \( f'(1) = e^1(\ln 1 + \frac{1}{1}) = e(0 + 1) = e \).

3. \( f(x) = \frac{2 \cos x}{\sin x}, x_0 = \frac{\pi}{4} \)

   Функция может быть упрощена: \( f(x) = 2 \mathrm{ctg} x \).

   Найдем производную: \( f'(x) = (2 \mathrm{ctg} x)' = -2 \mathrm{csc}^2 x = -\frac{2}{\sin^2 x} \).

   Найдем значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \):

   \( f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = -\frac{2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{2}{\frac{2}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4 \).

4. \( f(x) = \ln(x^3) \) (предполагается, что \( x_0 \) должно быть указано, но оно отсутствует. Если \( x_0 \) = 1, то решение будет:

   \( f(x) = 3 \ln x \).

   Найдем производную: \( f'(x) = \frac{3}{x} \).

   Если \( x_0 = 1 \): \( f'(1) = \frac{3}{1} = 3 \).

Ответ: Значения производных в указанных точках: \( \frac{1}{2} \), \( e \), \( -4 \). Для четвертого пункта ответ зависит от значения \( x_0 \).