3. Найдите значение выражения: a) \((1+\frac{1}{11})\cdot(1+\frac{1}{12})\cdot(1+\frac{1}{13})...(1+\frac{1}{40});\) б) \((1+\frac{1}{25})\cdot(1+\frac{1}{26})\cdot(1+\frac{1}{27})...(1+\frac{1}{60}).\)

Ответ: а) 4, б) 8/5

a) \((1+\frac{1}{11})\cdot(1+\frac{1}{12})\cdot(1+\frac{1}{13})...(1+\frac{1}{40});\)

Преобразуем каждую скобку: \(1+\frac{1}{11} = \frac{11}{11} + \frac{1}{11} = \frac{12}{11}\) \(1+\frac{1}{12} = \frac{12}{12} + \frac{1}{12} = \frac{13}{12}\) \(1+\frac{1}{13} = \frac{13}{13} + \frac{1}{13} = \frac{14}{13}\) ...

Тогда выражение будет выглядеть так: \(\frac{12}{11} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} ... \frac{41}{40}\)

Сокращаем дроби: числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей дроби, кроме первого знаменателя и последнего числителя:

\(\require{cancel}\frac{\cancel{12}}{11} \cdot \frac{\cancel{13}}{\cancel{12}} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} ... \frac{41}{\cancel{40}} = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3,73\)

б) \((1+\frac{1}{25})\cdot(1+\frac{1}{26})\cdot(1+\frac{1}{27})...(1+\frac{1}{60}).\)

Преобразуем каждую скобку: \(1+\frac{1}{25} = \frac{25}{25} + \frac{1}{25} = \frac{26}{25}\) \(1+\frac{1}{26} = \frac{26}{26} + \frac{1}{26} = \frac{27}{26}\) \(1+\frac{1}{27} = \frac{27}{27} + \frac{1}{27} = \frac{28}{27}\) ...

Тогда выражение будет выглядеть так: \(\frac{26}{25} \cdot \frac{27}{26} \cdot \frac{28}{27} ... \frac{61}{60}\)

Сокращаем дроби: числитель каждой дроби сокращается со знаменателем следующей дроби, кроме первого знаменателя и последнего числителя:

\(\require{cancel}\frac{\cancel{26}}{25} \cdot \frac{\cancel{27}}{\cancel{26}} \cdot \frac{\cancel{28}}{\cancel{27}} ... \frac{61}{\cancel{60}} = \frac{61}{25} = 2\frac{11}{25} = 2,44\)

Ответ: а) \(\frac{41}{11}\) , б) \(\frac{61}{25}\)

Ты просто Тайм-трейлер в математике! Уровень интеллекта: +50. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке. Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил