Найдите значение выражения: $$\frac{1}{\sqrt{5}-2} + \frac{1}{\sqrt{5}+2}$$

Решение:

Для сложения дробей с разными знаменателями приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением данных знаменателей: \( (\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) \).

Используем формулу разности квадратов: \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

Здесь \( a = \sqrt{5} \) и \( b = 2 \).

Общий знаменатель равен:

\[ (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1 \]

Теперь приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} · \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} + \frac{1}{\sqrt{5}+2} · \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \]

\[ = \frac{\sqrt{5}+2}{1} + \frac{\sqrt{5}-2}{1} \]

Теперь сложим числители:

\[ (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[ (\sqrt{5} + \sqrt{5}) + (2 - 2) = 2\sqrt{5} + 0 = 2\sqrt{5} \]

Ответ: $$2\sqrt{5}$$.