5. Найдите область определения функции: a) y = √5x-4x²; б) у = √x²+2x-80 / 3x-36 ; B) y = √9-x² + √5-2x.

a) $$y = \sqrt{5x - 4x^2}$$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента, при которых функция определена, то есть имеет действительные значения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $$5x - 4x^2 ≥ 0$$.

$$x(5 - 4x) ≥ 0$$.

Найдем значения $$x$$, при которых выражение равно нулю: $$x = 0$$ и $$5 - 4x = 0$$ следовательно, $$x = \frac{5}{4} = 1.25$$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале.

       -                  +                  -    <------------------------------------------------------>   0                    1.25

Выберем интервал, где выражение больше или равно нулю: $$0 ≤ x ≤ 1.25$$.

Ответ: $$x ∈ [0; 1,25]$$.

б) $$y = \sqrt{\frac{x^2 + 2x - 80}{3x - 36}}$$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента, при которых функция определена, то есть имеет действительные значения.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю: $$\frac{x^2 + 2x - 80}{3x - 36} ≥ 0$$.

1. Разложим числитель на множители: $$x^2 + 2x - 80 = 0$$.

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324$$.

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$$.

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$.

Следовательно, $$x^2 + 2x - 80 = (x - 8)(x + 10)$$.

Разложим знаменатель на множители: $$3x - 36 = 3(x - 12)$$.

Тогда неравенство можно переписать в виде: $$\frac{(x - 8)(x + 10)}{3(x - 12)} ≥ 0$$.

2. Найдем значения $$x$$, при которых числитель и знаменатель равны нулю:

$$x = 8, x = -10, x = 12$$.

3. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале:

       -                  +                  -                  +    <------------------------------------------------------>  -10                   8                   12

Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $$x ∈ [-10; 8] \cup (12; +∞)$$.

в) $$y = \sqrt{9 - x^2} + \sqrt{5 - 2x}$$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента, при которых функция определена, то есть имеет действительные значения.

Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

1. $$9 - x^2 ≥ 0$$ $$x^2 ≤ 9$$ $$-3 ≤ x ≤ 3$$
2. $$5 - 2x ≥ 0$$ $$2x ≤ 5$$ $$x ≤ \frac{5}{2} = 2,5$$

Пересечение этих двух промежутков:

$$-3 ≤ x ≤ 2.5$$.

Ответ: $$x ∈ [-3; 2,5]$$.