Найдите наименьшее значение функции \(y = (x^2 - 39x + 39) \cdot e^{2-x}\) на отрезке \([0; 6]\).

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: 39

Краткое пояснение: Находим производную и точки экстремума.

Найдем производную функции:
\(y' = (x^2 - 39x + 39)' \cdot e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39) \cdot (e^{2-x})' = (2x - 39)e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39)e^{2-x} \cdot (-1) = e^{2-x}(2x - 39 - x^2 + 39x - 39) = e^{2-x}(-x^2 + 41x - 78)\)
Приравняем производную к нулю:
\(e^{2-x}(-x^2 + 41x - 78) = 0\)
Так как \(e^{2-x}
eq 0\), то \(-x^2 + 41x - 78 = 0\)
\(x^2 - 41x + 78 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot 78 = 1681 - 312 = 1369 = 37^2\)
Найдем корни:
\(x_1 = \frac{41 + 37}{2} = \frac{78}{2} = 39\)
\(x_2 = \frac{41 - 37}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Оба корня входят в отрезок \([0; 6]\).
Теперь нужно найти значение функции на концах отрезка и в точках экстремума:
\(y(0) = (0^2 - 39 \cdot 0 + 39) \cdot e^{2-0} = 39 \cdot e^2\)
\(y(6) = (6^2 - 39 \cdot 6 + 39) \cdot e^{2-6} = (36 - 234 + 39) \cdot e^{-4} = -159 \cdot e^{-4}\)
\(y(2) = (2^2 - 39 \cdot 2 + 39) \cdot e^{2-2} = (4 - 78 + 39) \cdot e^0 = -35\)
Наименьшее значение: \(-35\)

Ответ: -35

Математика - Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро