8. Найди площадь фигуры, которую задаёт на координатной плоскости система { y + 2x ≥ -2 y - x ≥ -2. y ≤ 0

Система неравенств:

$$\begin{cases}y + 2x \ge -2 \\ y - x \ge -2 \\ y \le 0\end{cases}$$

Преобразуем неравенства:

$$\begin{cases}y \ge -2x - 2 \\ y \ge x - 2 \\ y \le 0\end{cases}$$

Найдем точки пересечения прямых:

1) $$y = -2x - 2$$ и $$y = x - 2$$:

$$-2x - 2 = x - 2 \Rightarrow -3x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = -2$$

Точка (0; -2)

2) $$y = -2x - 2$$ и $$y = 0$$:

$$0 = -2x - 2 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$$

Точка (-1; 0)

3) $$y = x - 2$$ и $$y = 0$$:

$$0 = x - 2 \Rightarrow x = 2$$

Точка (2; 0)

Площадь фигуры представляет собой площадь треугольника с вершинами в точках (0; -2), (-1; 0), (2; 0).

Основание треугольника: 2 - (-1) = 3

Высота треугольника: 0 - (-2) = 2

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$$

Ответ: 3