547. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отметили соответ ственно точки М и № так, что АМ: МВ = 1:2, BN: NC2: 1. Выра- зите вектор ММ через векторы АВ = а и AD = Б.

Дано: $$ AM : MB = 1 : 2, BN : NC = 2 : 1, \vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b} $$.

Нужно выразить вектор $$ \vec{NM} $$ через векторы $$ \vec{AB} = \vec{a} $$ и $$ \vec{AD} = \vec{b} $$.

$$ \vec{NM} = \vec{NA} + \vec{AM} $$.

Так как $$ AM : MB = 1 : 2 $$, то $$ AM = \frac{1}{3} AB $$, следовательно, $$ \vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB} = \frac{1}{3} \vec{a} $$.

$$ \vec{NA} = \vec{BA} + \vec{BN} = -\vec{AB} + \vec{BN} $$.

Так как $$ BN : NC = 2 : 1 $$, то $$ BN = \frac{2}{3} BC $$, следовательно, $$ \vec{BN} = \frac{2}{3} \vec{BC} = \frac{2}{3} \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{b} $$.

$$ \vec{NA} = -\vec{AB} + \vec{BN} = -\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} $$.

$$ \vec{NM} = \vec{NA} + \vec{AM} = -\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{a} = -\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} = \frac{2}{3} (-\vec{a} + \vec{b}) $$.

Ответ: $$ \vec{NM} = \frac{2}{3} (-\vec{a} + \vec{b}) $$