549. Докажите, что векторы АВ и CD коллинеарны, если А (1; 1), В (3;-2), C (-1; 3), D (5; -6).

Дано: $$ A(1; 1), B(3; -2), C(-1; 3), D(5; -6) $$.

Чтобы доказать, что векторы $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{CD} $$ коллинеарны, нужно показать, что их координаты пропорциональны, то есть существует такое число $$ k $$, что $$ \vec{AB} = k \vec{CD} $$.

Найдем координаты вектора $$ \vec{AB} $$.

$$ \vec{AB} = (3 - 1; -2 - 1) = (2; -3) $$.

Найдем координаты вектора $$ \vec{CD} $$.

$$ \vec{CD} = (5 - (-1); -6 - 3) = (6; -9) $$.

Проверим, существует ли такое число $$ k $$, что $$ \vec{AB} = k \vec{CD} $$.

$$ \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} $$. Так как $$ \frac{1}{3} = \frac{1}{3} $$, то векторы $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{CD} $$ коллинеарны.

Ответ: векторы $$ \vec{AB} $$ и $$ \vec{CD} $$ коллинеарны.