8. На рисунке треугольник МОР – равнобедренный, OP – его основание, МК и Он высоты. Докажите, что треугольники МОК и МСН подобны и найдите СН, если MH = 6, PH = 4, OP = 12.

Треугольник МОР равнобедренный, значит углы при основании равны: ∠MOP = ∠MPO. Так как MK и OH - высоты, то углы MKO и OHC прямые.

Рассмотрим треугольники MOK и MHC.

1. ∠OMK = ∠MOP (так как MO - биссектриса угла OMP в равнобедренном треугольнике) = ∠MPO = ∠MHC.

2. ∠MKO = ∠OHC = 90°.

Следовательно, треугольники MOK и MHC подобны по двум углам.

Так как OP = 12, то OH = OP/2 = 6, так как треугольник равнобедренный, а высота является и медианой.

Рассмотрим треугольник MHP. MP = MH + HP = 6 + 4 = 10.

Треугольники MOK и MHC подобны, следовательно:

MH / MO = HC / OK

Так как OP = 12, и OH - высота, то она является и медианой, а значит HC = OP / 2 = 6.

MO = MP = 10 (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

Тогда 6 / 10 = CH / OK

OK = OH - HC = 6 - CH

6 / 10 = CH / (6 - CH)

6(6 - CH) = 10CH

36 - 6CH = 10CH

16CH = 36

CH = 36 / 16 = 9 / 4 = 2,25

Ответ: CH = 2.25